倍精度(double)変数では15桁の数値が計算できますが, それでは不足する場合があります．計算が遅いですが，桁数を上げて計算できますよ．

用意するものは，もちろんBoostと, あとGMP, MPFR, それとGMPFRXXですね．Eigenと共に利用するのであれば, GMPFRXXでは動作しないですのでMPfrC++を利用するらしいんですが，実は unsupported (著者がプレゼントして，維持管理なし)ですので，現状では動かせてないです．

＊よくわからないのですが, MacOSであると, Boostとgmpfrxxが喧嘩してうまくいかないことがあります．

GMPFRXXの使い方

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
#include <Eigen/LU>
#include <boost/math/bindings/mpfr.hpp>
...
using MyMatrix2d=Eigen::Matrix<double,2,2>;
using SuMatrix2d=Eigen::Matrix<mpfr_class,2,2>;
...
MyMatrix2d A;
A<< 1+1e-10,1,1,1-1e-10;
std::cout << "det A= " << A.determinant() << std::endl;
...
mpfr_class::set_dprec(500);//500ビットに設定
SuMatrix2d S;
S << 1+1e-10,1,1,1-1e-10;
std::cout << "det S= " << S(0,0)*S(1,1)-S(0,1)*S(1,0) << std::endl; 

ところで行列式の値は (1+1e-10)(1-1e-10)-1 = 1 - 1e-20 -1 = -1e-20 なのであるが, 倍精度で計算すると0になってしまう．mpfr_class では正しく計算できる．ところが std::cout << S ができない

ビルドするときには, 

g++ eigen-mpfr.cpp -o em -lmpfr -lgmpfrxx -lgmp

とはいえ, S.inverse() や S.determinant() は計算できる.

SuMatrix2d S; 
S << 1+1e-10,1,1,1-1e-10;
double X=S.determinant().get_d();

この get_d() というのは, 任意精度クラスを倍精度に丸めて返却する関数です.

MPFRC++の使い方

だれか動かしてくんろ．